Stetigkeit in einem Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:23 Di 13.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}, & \mbox{für (x,y) } \not=\mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Ist f in (0,0) stetig? |
Hallo,
ich möchte dies mit dem [mm] \varepsilon, \delta [/mm] Kriterium lösen.
Sei [mm] \delta [/mm] >0 mit [mm] \delta =\wurzel{\varepsilon}
[/mm]
Sei d((x,y),(0,0))=||(x,y)|| = |x|+|y|< [mm] \delta [/mm] ( Mit der 1 Norm)
Dann ist d(f(x,y),f(0,0)) = [mm] ||\bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}|| [/mm] = [mm] |\bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}|
[/mm]
da [mm] \wurzel{|x|}+y^2 \ge \wurzel{|x|}
[/mm]
gilt [mm] |\bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}| \le |\bruch{xy}{\wurzel{|x|}}| [/mm] = [mm] \bruch{|x||y|}{\wurzel{|x|}}=\bruch{\wurzel{|x|}\wurzel{|x|}|y|}{\wurzel{|x|}}=\wurzel{|x|}|y|
[/mm]
für x [mm] \ge [/mm] 1 gilt [mm] \wurzel{|x|}|y| \le [/mm] |x||y| [mm] \le (|x|+|y|)^2 [/mm] = [mm] \delta^2 [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
für x < 1 gilt [mm] \wurzel{|x|}|y| [/mm] < |y| < |x|+|y| = [mm] \varepsilon
[/mm]
und damit d(f(x,y),f(0,0)) < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also ist f in (0,0) stetig.
Ist das so korrekt? Und wie könnte ich das auf eine andere Weise zeigen?
Gruß etoxxl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 13.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}, & \mbox{für (x,y) } \not=\mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Ist f in (0,0) stetig?
> Hallo,
>
> ich möchte dies mit dem [mm]\varepsilon, \delta[/mm] Kriterium
> lösen.
>
> Sei [mm]\delta[/mm] >0 mit [mm]\delta =\wurzel{\varepsilon}[/mm]
> Sei
> d((x,y),(0,0))=||(x,y)|| = |x|+|y|< [mm]\delta[/mm] ( Mit der 1
> Norm)
> Dann ist d(f(x,y),f(0,0)) =
> [mm]||\bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}||[/mm] =
> [mm]|\bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}|[/mm]
>
> da [mm]\wurzel{|x|}+y^2 \ge \wurzel{|x|}[/mm]
>
> gilt [mm]|\bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}| \le |\bruch{xy}{\wurzel{|x|}}|[/mm]
> =
> [mm]\bruch{|x||y|}{\wurzel{|x|}}=\bruch{\wurzel{|x|}\wurzel{|x|}|y|}{\wurzel{|x|}}=\wurzel{|x|}|y|[/mm]
> für x [mm]\ge[/mm] 1 gilt [mm]\wurzel{|x|}|y| \le[/mm] |x||y| [mm]\le (|x|+|y|)^2[/mm]
> = [mm]\delta^2[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> für x < 1 gilt [mm]\wurzel{|x|}|y|[/mm] < |y| < |x|+|y| =
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und damit d(f(x,y),f(0,0)) < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Also ist f in (0,0) stetig.
ich hab's nicht kontrollgerechnet, aber da sollte an mindestens einer Stelle noch ein Argument auftauchen, dass Du o.E. mit der 1-Norm des [mm] $\IR^2$ [/mm] rechnen darfst, weil alle Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent sind. (Hier natürlich speziell mit [mm] $n=2\,.$)
[/mm]
> Ist das so korrekt? Und wie könnte ich das auf eine andere
> Weise zeigen?
Das naheliegendste ist Folgenstetigkeit:
Zeige, dass für jede Folge [mm] $((x_n,y_n))_n$ [/mm] des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] die neben [mm] $(x_n,y_n) \not=(0,0)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] auch [mm] $\|(x_n,y_n)-(0,0)\|_2=\|(x_n,y_n)\|_2 \to [/mm] 0$ $(n [mm] \to \infty)$ [/mm] erfüllt, dass für diese dann schon
[mm] $$|f(x_n,y_n)-f(0,0)|=|f(x_n,y_n)| \to 0\;\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
folgt.
Beachte dabei auch ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17 von hier. Denn damit folgt aus [mm] $\|(x_n,y_n)\|_2\to [/mm] 0$ insbesondere [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to 0\,.$
[/mm]
Mit dieser Bemerkung (bzw. durch Hineinschnuppern in den entsprechenden Beweis) könntest Du Deine Aufgabe übrigens auch lösen.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 15.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
