www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Irreduzible Polynome in Q[X]
Irreduzible Polynome in Q[X] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Irreduzible Polynome in Q[X]: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:15 Fr 19.04.2024
Autor: Euler123

Aufgabe
Welches der folgenden Polynome ist irreduzibel in [mm] \mathbb{Q}[X] [/mm] und warum?
a) 4 [mm] X^{2}+8 [/mm]
b) 3 [mm] X^{4}+6 [/mm] X+6
c) [mm] X^{4}-7 X^{2}+5 [/mm] X-3
d) 6 [mm] X^{10}-15 X^{6}+1 [/mm]
e) [mm] X^{4}-5 X^{3}+2 [/mm] X+3

Hallo,

Die Irreduzibilität eines Polynoms kann man ja mit dem Eisenstein-Kriterium:

Gibt es ein Primideal [mm] \mathfrak{p} \in [/mm] R , sodass
[mm] \begin{aligned} f_{i} \equiv 0 \quad(\bmod \mathfrak{p}), \quad i>0, \\ f_{n} \not \equiv 0 \quad\left(\bmod \mathfrak{p}^{2}\right), \end{aligned} [/mm]
so ist f irreduzibel.

Wenn ich richtig liege, müssten a), und b) schon mal NICHT irreduzibel sein, da diese jeweils als Produkt zweier Polynome geschrieben werden können?

Bleibt also noch c), d) und e) zu untersuchen:
d)
f0=1, f1=-15, f3=6. Wenn man hier p=3 wählt, teilt 3 die 15, aber auch die 6 - somit ist das Kriterium nicht anwendbar?
c)
f0=-3; f1=5, f2=-7 und f4=1. Hier bräuchte ich also eine Primzahl, welche 5 und -7 teilt und für ^2 nicht -3.
b)
f0=3, f1=2, f2=-5, f3=1. Hier bräuchte ich also eine Primzahl, welche 2 und -5 teilt und für ^2 nicht 3.

Irgendwie verstehe ich das jetzt nicht bzw. wie ist weiter vorzugehen? Nach Aufgabenstellung müsste ja dann eines dieser Polynome irreduzibel in Q[X] sein!

Danke schon mal für Erklärungen im Voraus :)
LG Euler

"Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt"

        
Bezug
Irreduzible Polynome in Q[X]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 So 21.04.2024
Autor: meili

Hallo Euler123,

wenn ein Polynom das Eisenstein-Kriterium erfüllt, ist es irreduzibel in [mm] $\IQ[X]$. [/mm]
Wenn ein Polynom das Eisenstein-Kriterium nicht erfüllt,
kann es sowohl reduzibel als auch irreduzibel sein.

a) [mm] $4X^2+8 =4*(X^2+2)$ [/mm]
b) [mm] $3X^4+6X+6 [/mm] = [mm] 3*(X^4+2X+2)$ [/mm]
c) [mm] $X^4-7X^2+5X-3 [/mm] = [mm] (X^3-3X^2+2X-1)*(X+3)$ [/mm]
d) und e) erfüllen das Eisenstein-Kriterium nicht.
Gibt es Zerlegungen für d) und e)?
Ich habe keine gefunden.

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Irreduzible Polynome in Q[X]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 So 21.04.2024
Autor: Euler123

Hi melli,

Danke dir für deine Antwort - dann hatte ich das ja soweit richtig verstanden, wie ich sehe. Für d) und e) hätte ich jetzt auch keine Zerlegung gefunden und das Eisensteinkriterium ist also wirklich nicht anwendbar.

Nach Aufgabenstellung sollte ja eines der Polynome irreduzibel in Q[X] sein (das sollte somit d) oder e) sein??) - wie kann ich diese jetzt aber weiter untersuchen, und herausfinden, welches das irreduzible ist?

LG Euler

Bezug
                        
Bezug
Irreduzible Polynome in Q[X]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mo 22.04.2024
Autor: statler

Hallo!

> Danke dir für deine Antwort - dann hatte ich das ja soweit
> richtig verstanden, wie ich sehe. Für d) und e) hätte ich
> jetzt auch keine Zerlegung gefunden und das
> Eisensteinkriterium ist also wirklich nicht anwendbar.

Ich möchte meilis Antwort noch mal subsumieren:
a) und b) sind irreduzibel, weil 3 und 4 in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] Einheiten sind.
c) ist reduzibel, weil meili eine Zerlegung gefunden hat.

Für den Rest braucht man ja noch einen richtigen Beweis!
Bei d) könnte man die Substitution X=1/Z versuchen und dann p=3 für das Eisenstein-Kriterium nehmen.

Wenn es bei e) einen linearen Faktor gäbe, hätte man eine Nullstelle, die sogar in [mm] $\IZ$ [/mm] läge, weil das Polynom primitiv ist. Die gibt es aber nicht, wie man durch Probieren herausfindet. Und der Ansatz mit 2 quadratischen Faktoren führt ebenfalls zu einem Widerspruch, also sind d) und e) irreduzibel.

>  
> Nach Aufgabenstellung sollte ja eines der Polynome
> irreduzibel in Q[X] sein (das sollte somit d) oder e)
> sein??) - wie kann ich diese jetzt aber weiter untersuchen,
> und herausfinden, welches das irreduzible ist?

Woraus schließt du das?

Gruß aus HH
Dieter  


Bezug
                                
Bezug
Irreduzible Polynome in Q[X]: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:49 Mo 22.04.2024
Autor: Euler123

Hallo Dieter,

Danke dir für deine Antwort - auch wenn ich die Thematik immer noch nicht begriffen habe, ist sie mir jetzt ein wenig klarer (denke ich :)).

Ich bin Anfangs davon Ausgegengen, dass nur eines dieser Polynome irreduzibel sein kann bzw. sollte, da in der Aufgabenstellung eindeutig "Welches" steht und nicht "Welche" - das kann aber ja auch wieder mal nur eine schlecht getroffene Formulierung seitens des Aufgabenstellers sein.

Wenn ich dich richtig verstanden habe sind also a) und b) irreduzibel, weil 3 und 4 Einheiten in Q[x] - Kann ich hierbei auch sagen, weil sie sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbaren Polynome schreiben lassen?

c) ist mit der Zerlegung reduzibel.

Mit den letzten beiden werde ich mich jetzt dann nochmals beschäftigen ( e) (Hier mit dem Eisensteinkriterium( und d) sollen also ebenfalls irreduzibel sein?)

LG Euler


Bezug
                                        
Bezug
Irreduzible Polynome in Q[X]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:23 Di 23.04.2024
Autor: statler

Hi!

> Ich bin Anfangs davon Ausgegengen, dass nur eines dieser
> Polynome irreduzibel sein kann bzw. sollte, da in der
> Aufgabenstellung eindeutig "Welches" steht und nicht
> "Welche" - das kann aber ja auch wieder mal nur eine
> schlecht getroffene Formulierung seitens des
> Aufgabenstellers sein.

In Mathespeak bedeutet '1' immer 'mindestens 1', sonst muß es 'genau 1' heißen; entsprechend für die Fragepronomen.

>  
> Wenn ich dich richtig verstanden habe sind also a) und b)
> irreduzibel, weil 3 und 4 Einheiten in Q[x] - Kann ich
> hierbei auch sagen, weil sie sich nicht als Produkt zweier
> nicht invertierbaren Polynome schreiben lassen?

Es ist ja auch 7 = 1 x 7 = (-1) x (-7) in Z, obwohl 7 eine Primzahl ist. Einheiten kann ich immer ausklammern.

>  
> c) ist mit der Zerlegung reduzibel.
>  
> Mit den letzten beiden werde ich mich jetzt dann nochmals
> beschäftigen ( e) (Hier mit dem Eisensteinkriterium( und
> d) sollen also ebenfalls irreduzibel sein?)

Mach das, und frag gerne wieder nach.
LG Dieter


Bezug
        
Bezug
Irreduzible Polynome in Q[X]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Mi 24.04.2024
Autor: Euler123

Hi Dieter,

Nochmals vielen Dank für deine Hilfe - habe es geschafft alles zu lösen.

Ich möchte mir noch eine kleine Anmerkung zu a) und b) erlauben bzw. die Musterlösung preisgeben. Nach dieser soll man eben nicht mit den Einheiten argumentieren, sondern:

Bei a) - Das Polynom kann nicht in eines von kleineren Grad zerlegt werden
Bei b) - Mit Eisenstein zeigen, dass es irreduzibel in Z ist und anschließend mit dem Satz von Gauß, dass es eben auch in Q irreduzibel ist

LG Euler und Danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de